\chapter{1966年，卡丹诺夫标度变换与临界现象的普适性}

\date{2025.08.29}
	
	\begin{abstract}
		利奥·卡丹诺夫（Leo P. Kadanoff）于1966年提出的标度变换（Scaling Transformation）思想是理解临界现象普适性的关键突破。该思想指出，在临界点附近，系统的关联长度发散，导致不同尺度的涨落相互耦合，从而使系统呈现出尺度不变性（Scale Invariance）。这种不变性自然引出了热力学量的齐次形式，并最终通过威尔逊（Kenneth G. Wilson）的重整化群理论奠定了微观基础。本文旨在阐述卡丹诺夫标度变换的物理图像，并由此推导出热力学势及其导数的标度律（Scaling Laws）与临界指数（Critical Exponents）之间的关系。
		\vspace{1em}\\
		\textbf{关键词：} 临界现象；标度变换；普适性；卡丹诺夫；重整化群
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	在二级相变临界点附近，诸如磁化率、比热、关联长度等物理量会以幂律形式发散。令人惊奇的是，尽管物理系统千差万别（如铁磁体-顺磁体相变、液体-气体相变），它们的临界指数却展现出高度的普适性。卡丹诺夫的伟大洞见在于，他将这种普适性归因于临界点独特的尺度性质。当系统趋于临界点时，关联长度 $\xi \to \infty$，使得系统中没有特征长度标度，微观细节因而变得不再重要。此时，系统在标度变换下应具有不变性，这一物理图像为后续重整化群理论的诞生提供了清晰的蓝图。
	
	\section{卡丹诺夫标度变换的物理图像}
	考虑一个 $d$ 维晶格上的自旋系统（如伊辛模型），其晶格常数为 $a$。在临界温度 $T_c$ 附近，关联长度 $\xi \gg a$。卡丹诺夫的思路是将原晶格划分为大小为 $(ba) \times (ba) \times \dots$ 的块（Block），其中 $b > 1$ 是标度因子，如图\ref{fig:blocking} 所示。
	
	\begin{figure}[htbp]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			% Draw the original lattice (small spins)
			\foreach \x in {0,...,4}
			\foreach \y in {0,...,4} {
				\draw[fill=black] (\x, \y) circle (1.5pt);
				\draw[->, thick, red] (\x, \y) -- ++(0, 0.3);
			}
			\draw[black, thin] (0,0) grid (4,4);
			
			% Draw the blocks (dashed squares)
			\draw[dashed, blue, very thick] (0,0) rectangle (2,2);
			\draw[dashed, blue, very thick] (2,0) rectangle (4,2);
			\draw[dashed, blue, very thick] (0,2) rectangle (2,4);
			\draw[dashed, blue, very thick] (2,2) rectangle (4,4);
			
			% Draw the block spins
			\draw[fill=blue] (1, 1) circle (3pt);
			\draw[->, thick, blue] (1, 1) -- ++(0.2, 0.5);
			\draw[fill=blue] (3, 1) circle (3pt);
			\draw[->, thick, blue] (3, 1) -- ++(-0.2, 0.5);
			\draw[fill=blue] (1, 3) circle (3pt);
			\draw[->, thick, blue] (1, 3) -- ++(0.3, -0.4);
			\draw[fill=blue] (3, 3) circle (3pt);
			\draw[->, thick, blue] (3, 3) -- ++(0, 0.6);
			
			% Labels
			\node[below] at (2, -0.5) {(a) 原始晶格与自旋};
			\node[red, right] at (4.2, 2) {$\vec{s}_i$};
		\end{tikzpicture}
		\hspace{1cm}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			% Draw the coarse-grained lattice (block spins)
			\draw[black, thin] (0,0) grid (2,2);
			\foreach \x in {1,...,1}
			\foreach \y in {1,...,1} {
				\draw[fill=blue] (1, 1) circle (4.5pt);
				\draw[->, ultra thick, blue] (1, 1) -- ++(0.3, 0.5);
			}
			\foreach \x in {0,1,2}
			\foreach \y in {0,1,2} {
				\draw[fill=blue] (\x, \y) circle (3pt);
			}
			
			% Label for block spin
			\node[blue, right] at (2.2, 1) {$\vec{S}_I$};
			
			% Label
			\node[below] at (1, -0.5) {(b) 标度变换后的块自旋};
		\end{tikzpicture}
		\caption{(a) 原始晶格（红点与箭头代表格点上的自旋 $\vec{s}_i$）被划分为 $b=2$ 的块（蓝色虚线方框）。(b) 通过某种变换（如取平均）将块内自旋映射为一个新的有效自旋 $\vec{S}_I$，形成一个新的粗粒化晶格，其晶格常数为 $a' = ba$。}
		\label{fig:blocking}
	\end{figure}
	
	每个块 $I$ 包含 $b^d$ 个原始自旋。通过某种规则（例如，取块内自旋的平均值或求和），可以定义一个新的块自旋 $\vec{S}_I$：
	\begin{equation}
		\vec{S}_I = \mathcal{T}(\{s_i\}_{i \in I})
	\end{equation}
	同时，系统的哈密顿量 $H$ 和温度 $T$ 也相应地重新标度，变换为一个新的有效哈密顿量 $H'$ 和有效温度 $T'$：
	\begin{equation}
		H' = \mathcal{R}_b(H), \quad \beta' H'[\{\vec{S}_I\}] = f(b) + \beta H[\{\vec{s}_i\}]
	\end{equation}
	其中 $\mathcal{R}_b$ 是重整化群算子，$f(b)$ 是一个与块自旋构型无关的附加常数。关键在于，如果系统正好处于临界点 ($T=T_c, h=0$)，关联长度为无穷大，变换前后系统应具有完全相同的行为，即有效哈密顿量 $H'$ 是 $H$ 的一个不动点（Fixed Point）：
	\begin{equation}
		H^* = \mathcal{R}_b(H^*)
	\end{equation}
	在不动点附近，系统的自由能及其导数将表现出特定的标度行为。
	
	\section{标度变换方程的推导}
	\subsection{自由能的奇异部分与齐次性假设}
	系统的总自由能 $F(T, H)$ 可以分解为正则部分 $F_{\text{reg}}$ 和奇异部分 $f_s$：
	\begin{equation}
		F(T, H) = F_{\text{reg}}(T, H) + f_s(t, h)
	\end{equation}
	其中 $t = (T-T_c)/T_c$ 是约化温度，$h$ 是外场（如磁场）。在临界点附近，奇异部分 $f_s$ 主导了临界行为。
	
	卡丹诺夫的标度假设指出，在标度变换下，奇异自由能密度 $f_s$ 是一个广义齐次函数。这意味着，存在指数 $p$ 和 $q$，使得对于任意标度因子 $\lambda > 0$，下式成立：
	\begin{equation}
		f_s(\lambda^p t, \lambda^q h) = \lambda f_s(t, h)
		\label{eq:scaling_hypothesis}
	\end{equation}
	这一假设体现了标度变换下的不变性精神：变换后的变量 $(\lambda^p t, \lambda^q h)$ 下的自由能，只是原自由能的一个重标（$\lambda$ 倍）。
	
	\subsection{临界指数的推导}
	选择标度因子 $\lambda$，使得 $\lambda^p |t| = 1$，即 $\lambda = |t|^{-1/p}$。将其代入齐次方程\eqref{eq:scaling_hypothesis}：
	\begin{align}
		f_s(t, h) &= \lambda^{-1} f_s(\lambda^p t, \lambda^q h) \\
		&= |t|^{1/p} f_s\left( \frac{t}{|t|}, \frac{h}{|t|^{q/p}} \right)
	\end{align}
	令 $y = q/p$，并定义两个普适函数 $f_{\pm}$（对应于 $t>0$ 和 $t<0$）：
	\begin{equation}
		f_s(t, h) = |t|^{2-\alpha} f_{\pm}\left( \frac{h}{|t|^{\Delta}} \right)
		\label{eq:scaling_form}
	\end{equation}
	其中我们引入了临界指数 $\alpha$ 和 $\Delta$，并满足关系 $2-\alpha = 1/p$ 和 $\Delta = q/p = y$。式\eqref{eq:scaling_form} 称为自由能的标度形式。
	
	通过对自由能求导，可以得到各种热力学量，并推导出它们的临界指数：
	\begin{itemize}
		\item \textbf{比热} $c_h \sim |t|^{-\alpha}$: $c_h \propto -\frac{\partial^2 f_s}{\partial t^2} \sim |t|^{(2-\alpha)-2} = |t|^{-\alpha}$
		\item \textbf{自发磁化强度} $m \sim (-t)^{\beta}$: $m \propto -\left. \frac{\partial f_s}{\partial h} \right|_{h=0} \sim |t|^{2-\alpha - \Delta}$，故 $\beta = 2 - \alpha - \Delta$
		\item \textbf{磁化率} $\chi \sim |t|^{-\gamma}$: $\chi \propto \left. \frac{\partial^2 f_s}{\partial h^2} \right|_{h=0} \sim |t|^{2-\alpha - 2\Delta}$，故 $\gamma = \alpha + 2\Delta - 2$
		\item \textbf{临界等温线} $h \sim |m|^{\delta}$: 在 $t=0$ 时，$f_s(0, h) \sim |h|^{(2-\alpha)/\Delta}$，而 $m \propto \frac{\partial f_s}{\partial h} \sim |h|^{(2-\alpha)/\Delta - 1}$，故 $|h| \sim |m|^{\Delta/(2-\alpha-\Delta)} = |m|^{\delta}$，即 $\delta = \Delta / \beta$
	\end{itemize}
	消除变量 $\Delta$ 和 $\alpha$，可以得到著名的标度律（Scaling Relations）：
	\begin{align}
		\alpha + 2\beta + \gamma &= 2 \\
		\beta(\delta - 1) &= \gamma \\
		\alpha + \beta(1+\delta) &= 2
	\end{align}
	这些关系式表明，六个临界指数 $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \eta, \nu$ 并非独立，而是由两个标度指数 $p$ 和 $q$ 所决定，这深刻地揭示了临界现象普适性的根源。
	
	\section{结论}
	卡丹诺夫的标度变换思想为临界现象的研究提供了强大的理论框架和直观的物理图像。它揭示了临界点附近尺度不变性的本质，并由此推导出的标度律得到了实验的广泛验证。这一思想不仅是理解普适性的钥匙，更直接启发了威尔逊重整化群理论的构建，从而最终完成了对临界现象的微观理论解释。标度变换的概念也深远地影响了从凝聚态物理到粒子物理等多个领域，成为现代物理学中不可或缺的核心思想之一。
	
	\begin{thebibliography}{99}
		\bibitem{kadanoff1966} L. P. Kadanoff, \"Scaling laws for Ising models near $T_c$\", \textit{Physics Physique Физика}, 1966, 2(6): 263.
		\bibitem{wilson1971} K. G. Wilson, \"Renormalization group and critical phenomena. I. Renormalization group and the Kadanoff scaling picture\", \textit{Physical Review B}, 1971, 4(9): 3174.
		\bibitem{hu1982} 于渌, 郝柏林, 《相变和临界现象》, 科学出版社, 1984.
	\end{thebibliography}
	